Math Learning

Bài này là bài thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi. Cách tốt nhất là dùng kiến thức về khảo sát hàm số ở chương trình giải tích 12 để giải. Nếu dùng kiến thức lớp 12 thì lời giải đơn giản, điều quan trọng khi đi thi là phải làm nhanh. Lời giải sau đây không dùng kiến thức lớp 12 có thể phù hợp với em.

Giải. Đặt \(t=\dfrac{2x}{x^2+1}\). Nhận xét \( - 1 \le \dfrac{2x}{x^2+1} \le 1\), có thể chứng minh điều này bằng biến đổi tương đương, ta được \( y=\cos t + \cos 2t +1 = 2\cos^2 t + \cos t \). Đặt \( u=\cos t\) thì ta lại được \(y=2u^2+u\). Vì \( t \in [-1;1]\) nên \(u=\cos t \in [\cos 1;1]\), có thể thấy điều này bằng đường tròn lượng giác. Đồ thị hàm số \( y=f(u)=2u^2 + u\) là parabol quay bề lõm lên trên và đỉnh có hoành độ \(u=-\dfrac{1}{4}\) không thộc đoạn \([\cos 1;1]\). Dựa vào đồ thị ta có:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số cần tìm là \( 2\cos^2 1 + \cos 1\) và giá trị lớn nhất là \(3\). Dùng máy tính tính gần đúng kết quả trên.

Xem thêm. Đồ thị của hàm số \(y=\cos\dfrac{2x}{x^2+1}+\cos\dfrac{4x}{x^2+1}+1\) tại địa chỉ này

Em tên gì, lớp nào vậy?

dạ , em tên Quỳnh lớp c2
kiến thức về đạo hàm lớp 12 em có học rồi
thầy có thể giải theo cách của 12 dùm em được hok thầy
em cảm ơn thầy nhiều

Dùng kiến thức lớp 12 thì hướng giải vẫn tương tự như cách trên có điều có thể sử dụng phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số một cách tường minh.

Giải. Đặt \(t=\dfrac{2x}{1+x^2}\), khi đó ta có \(t\in [-1;1]\). Ta sẽ tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=g(t)=\cos t + \cos 2t + 1\) trên đoạn \([-1;1]\). Đặt \(u=\cos t\) \(u \in [\cos 1;1]\). Ta sẽ đi tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=f(u)=2u^2+u\) trên đoạn \([\cos 1;1]\) bằng cách như ở GTLN và GTNN của hàm số.
\(f'(u)=4u + 1\)
Giải phương trình \(f'(u)=0\) tìm được \(u=-\dfrac{1}{4}\) và loại vì không thuộc \((\cos 1;1)\).
Khi đó \(f(\cos 1)=2\cos^2 1 + \cos 1\) và \(f(1)=3\).
Khi đó GTLN của \(y=f(u)\) là \(3\) và GTNN của \(y=f(u)\) là \(2\cos^2 1 + \cos 1\).
Vậy GTLN và GTNN của hàm số đã cho cũng tương ứng như trên, đạt được khi \(\dfrac{2x}{x^2 + 1}=\pm 1\) hay \(x=\pm 1\) và \(x=0\).

mà thầy ơi, sao u thuộc [cos1;1] vậy thầy

Em vẽ đường tròn lượng giác ra giấy. Gọi A là điểm gốc của đường tròn này. Như vậy A là điểm có toạ độ (1;0). Xác định điểm M và N trên đường tròn sao cho số đo cung lượng giác AM bằng -1 radian và số đo cung lượng giác AN bằng 1 radian. Như vậy M là điểm nằm trong góc phần tư thứ 4, còn N là điểm nằm trong góc phần tư thứ 1. M và N đối xứng nhau qua Ox nên có hoành độ bằng nhau và cùng bằng \(\cos 1\). Gọi K là điểm trên đường tròn lượng giác sao đo số đo của cung lượng giác AK bằng t. Khi t thay đổi từ -1 đến 1 thì điểm K sẽ di động từ M đến A rồi đến N trên đường tròn theo chiều dương. Khi đó hoành độ của điểm K cũng chính là \(\cos t\) thay đổi từ \(\cos 1\) đến 1 rồi lại giảm xuống đến \(\cos 1\).

Vậy khi \(t \in [-1;1]\) thì \(u \in [\cos 1; 1]\).

em hiểu rồi thầy , cảm ơn thầy nhiều !