Math Learning

Có vài bạn hỏi thầy bài toán sau đây:
Đề. Cho \(a, b, c \ge 0\) và \(a+b+c=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[P=(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3\]
Đây là một bài trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai năm 2011.
Gợi ý. Áp dụng công thức
\[x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)\]
Với \(x=a-b\), \(y=b-c\), \(z=c-a\) ta được
\[P=-3(a-c)(b-a)(c-b)\]
Hay \(P=3(a-b)(b-c)(c-a)\).
Để tìm GTLN của \(P\) ta tìm GTLN của \(|P|=3|(a-b)(b-c)(c-a)|\). Vì \(a, b, c\) có vai trò như nhau trong \(|P|\) nên ta có thể giả sử \(a \ge b \ge c\). Ta có \(|P|=3(a-b)(a-c)(b-c)\).Vì \(c \ge 0\) nên
\(|P| \le 3ab(a-b) \). Mặt khác \(a+b \le 1\) nên \(a \le 1-b\) suy ra \(a-b \le 1-2b\). Như vậy \(|P| \le 3(1-b)b(1-2b)\). Vì \(1-2b \ge 0\) nên \(b \in [0;\frac{1}{2}]\).
Đến đây có 2 cách giải tiếp theo
Cách 1. Dùng kiến thức lớp 12, tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(b)=3(2b^3-3b^2+b)\) trên đoạn \([0;\frac{1}{2}]\) ta được giá trị lớn nhất của \(|P|\) là \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) khi \(b=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) đạt được khi \(a=\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\), \(b=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\), \(c=0\).
Cách 2. Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho ba số với việc chọn các hệ số thích hợp để xảy ra dấu bằng (dùng cho lớp 10).